Генератор диаграмм Боде
Введите коэффициенты передаточной функции H(s) и получите амплитуду, непрерывно развёрнутую фазу, запас по амплитуде, запас по фазе, полюсы и нули — с мгновенным построением графиков и экспортом в CSV или SVG.
Бесплатный онлайн-инструмент · работает полностью в браузере · без регистрации
Передаточная функция
Коэффициенты и диапазон частот
Диаграммы Боде
Амплитуда и фаза в логарифмическом масштабе частоты
Наведите указатель на график, чтобы посмотреть отсчёт. При фокусе с клавиатуры используйте стрелки Влево/Вправо или Home/End.
Характеристики
Вычислены по выборке в заданном диапазоне
| Параметр | Обозначение | Значение | На частоте |
|---|---|---|---|
| Запас по амплитуде | GM | — | — |
| Запас по фазе | φm | — | — |
| Частота среза (0 дБ) | ωgc | — | |
| Критическая частота (−180°) | ωpc | — | |
| Статический коэффициент усиления | |H(0)| | — | |
| Нули | zi | — | |
| Полюсы | pi | — | |
| Устойчивость разомкнутой системы | — | — | |
Что такое диаграмма Боде?
Диаграмма Боде — это пара графиков, показывающая, как линейная стационарная (LTI) система реагирует на каждую частоту: график амплитуды в децибелах (в отечественной литературе — ЛАЧХ) и график фазы в градусах, оба построенные по частоте на логарифмической оси. Названная в честь Хендрика Боде, разработавшего этот метод в Bell Labs в 1930-х годах, она остаётся для инженеров стандартным способом чтения частотной характеристики передаточной функции.
Кривая амплитуды — это 20·log₁₀|H(jω)|, поэтому перемножение коэффициентов усиления сводится к простому сложению дБ. Кривая фазы — это аргумент H(jω), и этот инструмент разворачивает её непрерывно, чтобы можно было следить за накопленным фазовым запаздыванием за пределами −180°, а не видеть скачки.
Диаграммы Боде важны потому, что делают устойчивость наглядной: то, насколько близко усиление контура к 0 дБ, когда фаза достигает −180°, определяет, будет ли система с обратной связью звенеть, колебаться или плавно устанавливаться.
Ключевые понятия
Запас по амплитуде
Запас по амплитуде — это то, насколько ещё можно увеличить усиление разомкнутого контура, в дБ, прежде чем система с единичной обратной связью потеряет устойчивость. Он отсчитывается на критической частоте, где фаза достигает −180°: запас равен расстоянию от кривой амплитуды вверх до 0 дБ. Обычные рекомендации по проектированию требуют 6 дБ и более.
Запас по фазе
Запас по фазе — это то, какое дополнительное фазовое запаздывание может выдержать разомкнутый контур до потери устойчивости. Он отсчитывается на частоте среза, где амплитуда пересекает 0 дБ: запас равен расстоянию от кривой фазы до уровня −180°. Обычные рекомендации по проектированию требуют 45° и более; оба запаса применимы, когда разомкнутый контур сам по себе устойчив.
Частота сопряжения
Частота сопряжения (или излома) — это точка, где асимптотическая амплитудная характеристика меняет наклон: при ω = |p| для полюса p или при ω = |z| для нуля z. На сопрягающей частоте первого порядка истинная кривая отстоит от асимптот на 3 дБ, а фаза уже сместилась на 45°, поэтому точка −3 дБ определяет полосу пропускания.
Полюсы, нули и наклоны
Каждый полюс изгибает наклон амплитудной характеристики на −20 дБ/декада и вносит −90° фазы; каждый нуль добавляет +20 дБ/декада и +90°. Пары комплексно-сопряжённых полюсов с малым демпфированием создают резонансный пик вблизи своей собственной частоты. Сверка числа полюсов и нулей с наклонами на графике — самая быстрая проверка адекватности модели.
Как пользоваться генератором
- Введите коэффициенты числителя и знаменателя H(s) в порядке убывания степеней s — например, 1, 0, 4 для s² + 4. Подойдут и запятые, и пробелы.
- Задайте диапазон частот и выберите рад/с или Гц. Развёртка между двумя границами логарифмическая.
- Нажмите «Построить графики». Кривые амплитуды и фазы отрисовываются сразу, а таблица характеристик показывает запас по амплитуде, запас по фазе, частоты пересечения, полюсы, нули и устойчивость разомкнутой системы.
- Просматривайте любую точку указателем или клавишами со стрелками, затем экспортируйте выборку отклика в CSV или графики в SVG. Всё вычисляется локально — введённые данные не покидают страницу.
Типовые передаточные функции
Нажмите «Загрузить», чтобы мгновенно построить пример.
| Система | H(s) | Поведение | Загрузить |
|---|---|---|---|
| ФНЧ первого порядка | 1 / (s + 1) | Плоская до частоты сопряжения, затем −20 дБ/декада; фаза устанавливается на −90°. | |
| ФВЧ первого порядка | s / (s + 1) | +20 дБ/декада ниже частоты сопряжения, плоская выше; фаза начинается с +90°. | |
| ФНЧ второго порядка | 100 / (s² + 10s + 100) | −40 дБ/декада выше ωₙ; пик вблизи ωₙ при демпфировании ζ < 0.707. | |
| Полосовой фильтр | 10s / (s² + 10s + 100) | Пропускает полосу вокруг ωₙ; склоны ±20 дБ/декада с обеих сторон. | |
| Интегратор | 1 / s | Постоянный наклон −20 дБ/декада на всех частотах; фаза фиксирована на −90°. | |
| Дифференциатор с полюсом | s / (0.1s + 1) | +20 дБ/декада, пока не вступает полюс; фаза спадает от +90°. | |
| ПИД-регулятор | (s² + 10s + 20) / s | Интегральное действие на низких частотах, дифференциальный подъём на высоких. | |
| Контур с единичной обратной связью | 1 / (s(s + 1)) | Классическая демонстрация запасов: интегратор плюс полюс, конечный запас по фазе. |
Точность и метод
Кривые вычисляются оцениванием полиномов на выборке до 5 000 частот; внутри ω используется в рад/с, а входные значения в Гц пересчитываются по формуле ω = 2πf. Фаза разворачивается непрерывно всюду, где отклик определён, а пересечения интерполируются между отсчётами, поэтому запасы являются оценками в пределах введённого диапазона.
Запасы интерпретируются для разомкнутой передаточной функции при единичной обратной связи. Если разомкнутый контур имеет полюсы в правой полуплоскости, таблица сообщает об этом, и запасам Боде нельзя доверять при оценке устойчивости замкнутой системы — используйте вместо них критерий Найквиста.
Часто задаваемые вопросы
Что вычисляет этот генератор диаграмм Боде?
Он вычисляет H(jω) непосредственно по вашим коэффициентам полиномов на логарифмически распределённых частотах, а затем выводит амплитуду в дБ, непрерывно развёрнутую фазу в градусах, запас по амплитуде, запас по фазе, частоты пересечения, статический коэффициент усиления и численно найденные полюсы и нули. Все вычисления выполняются в вашем браузере.
Как читать диаграмму Боде?
Горизонтальная ось — частота в логарифмическом масштабе. На графике амплитуды положительные дБ означают усиление, а отрицательные — ослабление, и прямолинейные участки идут с наклонами, кратными ±20 дБ/декада. На графике фазы следите, сколько запаздывания накапливается с ростом частоты — расстояние до −180° при амплитуде 0 дБ и есть запас по фазе.
Что такое запас по амплитуде и запас по фазе?
Это два стандартных запаса устойчивости контура обратной связи. Запас по амплитуде измеряется там, где фаза пересекает −180°, и показывает, сколько дБ дополнительного усиления выдерживает контур. Запас по фазе измеряется там, где амплитуда пересекает 0 дБ, и показывает, сколько градусов дополнительного запаздывания он выдерживает. Оба должны быть положительными для устойчивого контура с единичной обратной связью, и они имеют смысл, когда разомкнутый контур сам по себе устойчив.
В чём разница между диаграммой Боде и диаграммой Найквиста?
Диаграмма Боде показывает амплитуду и фазу как две отдельные кривые в зависимости от частоты; диаграмма Найквиста изображает H(jω) одной кривой на комплексной плоскости. По диаграмме Боде проще считывать запасы; критерий Найквиста — более общий тест устойчивости, и именно он нужен, когда разомкнутый контур имеет полюсы в правой полуплоскости.
Как полюсы и нули формируют график?
Каждый полюс добавляет −20 дБ/декада наклона и −90° итогового фазового запаздывания, начиная вблизи своей частоты сопряжения; каждый нуль действует наоборот. Слабо демпфированные пары комплексных полюсов создают резонансный пик. Инструмент численно факторизует ваши полиномы и перечисляет полюсы и нули, чтобы каждый излом кривой можно было сопоставить с корнем.
Инструмент бесплатный, и куда уходят мои данные?
Он полностью бесплатен, без регистрации и без ограничений использования. Расчёты выполняются локально в браузере — коэффициенты никуда не отправляются, а страница после загрузки не делает сетевых запросов. Экспорт CSV и SVG формируется на вашем компьютере.