ボード線図ジェネレーター
伝達関数 H(s) の係数を入力すると、ゲイン、アンラップした位相、ゲイン余裕、位相余裕、極、零点を読み取れます — 即座にプロットされ、CSV や SVG としてエクスポートできます。
無料オンラインツール · すべてブラウザ内で動作 · 登録不要
伝達関数
係数と周波数範囲
ボード線図
対数周波数に対するゲインと位相
プロットにポインタを合わせるとサンプルを確認できます。キーボードフォーカス時は左右キーまたは Home/End を使用してください。
特性値
サンプリングした範囲で計算
| パラメータ | 記号 | 値 | 該当周波数 |
|---|---|---|---|
| ゲイン余裕 | GM | — | — |
| 位相余裕 | φm | — | — |
| ゲイン交差 (0 dB) | ωgc | — | |
| 位相交差 (−180°) | ωpc | — | |
| 直流ゲイン | |H(0)| | — | |
| 零点 | zi | — | |
| 極 | pi | — | |
| 開ループ安定性 | — | — | |
ボード線図とは？
ボード線図とは、線形時不変（LTI）システムがあらゆる周波数に対してどのように応答するかを示す一対のグラフ、すなわちいずれも対数軸の周波数に対して描かれる、デシベル単位のゲイン線図と度単位の位相線図です。1930年代にベル研究所でこの手法を開発したヘンドリック・ボードにちなんで名付けられ、今なお技術者が伝達関数の周波数応答を読み取る標準的な方法であり続けています。
ゲイン曲線は 20·log₁₀|H(jω)| であり、ゲインの掛け算は dB の単純な足し算になります。位相曲線は H(jω) の偏角で、本ツールはこれを連続的にアンラップするため、位相が飛んで見えることなく、−180° を超えて累積する位相遅れを追跡できます。
ボード線図が重要なのは、安定性を目に見えるものに変えるからです：位相が −180° に達したときにループゲインが 0 dB にどれだけ近いかが、フィードバックシステムがリンギングするか、発振するか、きれいに整定するかを決めます。
主要な概念
ゲイン余裕
ゲイン余裕とは、単位フィードバック系が不安定になるまでに開ループが許容できる追加ゲインの量（dB 単位）です。位相が −180° に達する位相交差周波数で読み取り、ゲイン曲線から 0 dB までの距離が余裕になります。一般的な設計指針では 6 dB 以上が求められます。
位相余裕
位相余裕とは、不安定になるまでに開ループが許容できる追加の位相遅れの量です。ゲインが 0 dB を横切るゲイン交差周波数で読み取り、位相曲線から −180° までの距離が余裕になります。一般的な設計指針では 45° 以上が求められ、どちらの余裕も開ループ自体が安定な場合に適用されます。
折点周波数
折点周波数（ブレーク周波数）とは、漸近ゲイン線図の傾きが変わる周波数で、極 p に対しては ω = |p|、零点 z に対しては ω = |z| に位置します。1次の折点では実際の曲線は漸近線から 3 dB 離れた位置にあり、位相は 45° 動いており、これが −3 dB 点が帯域幅を定義する理由です。
極・零点と傾き
各極はゲインの傾きを −20 dB/dec だけ曲げて −90° の位相を与え、各零点は +20 dB/dec と +90° を加えます。減衰の小さい複素共役極対は、その固有角周波数付近に共振ピークを生じます。プロットされた傾きに対して極と零点を数え合わせることは、モデルの最も手早い妥当性チェックです。
このジェネレーターの使い方
- H(s) の分子と分母の係数を s の次数の高い順に入力します — 例えば s² + 4 なら 1, 0, 4 です。カンマとスペースのどちらも使えます。
- 周波数範囲を設定し、rad/s または Hz を選択します。スイープは 2 つの限界値の間で対数的に行われます。
- 「プロットを生成」を選択します。ゲイン曲線と位相曲線が即座に描画され、特性値の表にゲイン余裕、位相余裕、交差周波数、極、零点、開ループ安定性が表示されます。
- ポインタまたは矢印キーで任意の点を確認し、サンプリングされた応答を CSV として、あるいはプロットを SVG としてエクスポートします。すべての計算はローカルで行われ、入力した内容がページの外に出ることはありません。
代表的な伝達関数
「読み込み」を選択すると、例を即座にプロットできます。
| システム | H(s) | 挙動 | 読み込み |
|---|---|---|---|
| 1次ローパス | 1 / (s + 1) | 折点まで平坦でその先は −20 dB/dec となり、位相は −90° に落ち着きます。 | |
| 1次ハイパス | s / (s + 1) | 折点より下は +20 dB/dec、上は平坦で、位相は +90° から始まります。 | |
| 2次ローパス | 100 / (s² + 10s + 100) | ωₙ より上は −40 dB/dec で、減衰係数 ζ < 0.707 のとき ωₙ 付近にピークが生じます。 | |
| バンドパス | 10s / (s² + 10s + 100) | ωₙ 周辺の帯域を通過させ、両側は ±20 dB/dec のスカートになります。 | |
| 積分器 | 1 / s | 全周波数で一定の −20 dB/dec で、位相は −90° に固定されます。 | |
| 極付き微分器 | s / (0.1s + 1) | 極が支配的になるまで +20 dB/dec で、位相は +90° から下がっていきます。 | |
| PID制御器 | (s² + 10s + 20) / s | 低周波では積分動作、高周波では微分によるブーストが働きます。 | |
| 単位フィードバックループ | 1 / (s(s + 1)) | 余裕の定番デモ：積分器に極を加えた構成で、位相余裕は有限です。 |
精度と計算方法
曲線は最大 5,000 個のサンプル周波数で多項式を評価することで計算され、内部では ω を rad/s で用い、Hz の入力は ω = 2πf で変換します。位相は応答が定義されるすべての範囲で連続的にアンラップされ、交差点はサンプル間で補間されるため、余裕は入力した範囲内での推定値です。
余裕は、単位フィードバック下の開ループ伝達関数として解釈されます。開ループが右半平面極を持つ場合は表にその旨が示され、そのボード余裕を閉ループ安定性の判断に用いてはいけません — 代わりにナイキスト安定判別法を使用してください。
よくある質問
このボード線図ジェネレーターは何を計算しますか？
入力された多項式係数から対数間隔の周波数で H(jω) を直接評価し、dB 単位のゲイン、連続的にアンラップした度単位の位相、ゲイン余裕、位相余裕、交差周波数、直流ゲイン、数値的に因数分解した極と零点を報告します。すべての計算はブラウザ内で行われます。
ボード線図はどう読めばよいですか？
横軸は対数スケールの周波数です。ゲイン線図では、正の dB は増幅、負の dB は減衰を意味し、直線区間は ±20 dB/dec の倍数の傾きになります。位相線図では、周波数の上昇に伴ってどれだけ遅れが蓄積するかに注目してください — ゲインが 0 dB のときの −180° までの距離が位相余裕です。
ゲイン余裕と位相余裕とは何ですか？
これらはフィードバックループの 2 つの標準的な安全余裕です。ゲイン余裕は位相が −180° を横切る点で測定され、ループが何 dB の追加ゲインまで許容できるかを表します。位相余裕はゲインが 0 dB を横切る点で測定され、何度の追加の遅れまで許容できるかを表します。安定な単位フィードバックループでは両方とも正であるべきで、開ループ自体が安定な場合に意味を持ちます。
ボード線図とナイキスト線図の違いは何ですか？
ボード線図はゲインと位相を周波数に対する 2 本の別々の曲線として示し、ナイキスト線図は H(jω) を複素平面上の 1 本の曲線として描きます。余裕を読み取るにはボード線図の方が容易ですが、ナイキスト安定判別法はより一般的な安定性の判定法であり、開ループが右半平面極を持つ場合に適切なツールです。
極と零点はプロットをどのように形作りますか？
各極は折点周波数付近から −20 dB/dec の傾きと最終的に −90° の位相遅れを加え、各零点はその逆を行います。減衰の小さい複素極対は共振ピークを加えます。本ツールは多項式を数値的に因数分解して極と零点を一覧表示するので、曲線の各折れ点を根と対応付けられます。
このツールは無料ですか、そして入力したデータはどこへ行きますか？
完全に無料で、登録も利用回数の制限もありません。計算はブラウザ内でローカルに実行され、係数がアップロードされることはなく、読み込み後にページがネットワークリクエストを行うこともありません。CSV と SVG のエクスポートはお使いのマシン上で生成されます。