Bode-Diagramm-Generator
Geben Sie die Koeffizienten einer Übertragungsfunktion H(s) ein und lesen Sie Amplitude, entfaltete Phase, Amplitudenreserve, Phasenreserve, Pole und Nullstellen ab — sofort geplottet, exportierbar als CSV oder SVG.
Kostenloses Online-Tool · läuft vollständig im Browser · keine Anmeldung
Übertragungsfunktion
Koeffizienten und Frequenzbereich
Bode-Diagramme
Amplitude und Phase über logarithmischer Frequenz
Zeigen Sie auf ein Diagramm, um einen Abtastpunkt zu untersuchen. Mit Tastaturfokus verwenden Sie Pfeil links/rechts oder Pos1/Ende.
Kenngrößen
Berechnet über den abgetasteten Bereich
| Parameter | Symbol | Wert | Bei Frequenz |
|---|---|---|---|
| Amplitudenreserve | GM | — | — |
| Phasenreserve | φm | — | — |
| Amplitudendurchtritt (0 dB) | ωgc | — | |
| Phasendurchtritt (−180°) | ωpc | — | |
| Statische Verstärkung | |H(0)| | — | |
| Nullstellen | zi | — | |
| Pole | pi | — | |
| Stabilität des offenen Kreises | — | — | |
Was ist ein Bode-Diagramm?
Ein Bode-Diagramm ist ein Paar von Graphen, das zeigt, wie ein lineares zeitinvariantes (LTI-)System auf jede Frequenz reagiert: ein Amplitudengang in Dezibel und ein Phasengang in Grad, beide über der Frequenz auf einer logarithmischen Achse aufgetragen. Benannt nach Hendrik Bode, der die Technik in den 1930er-Jahren in den Bell Labs entwickelte, ist es bis heute der Standardweg, auf dem Ingenieure den Frequenzgang einer Übertragungsfunktion ablesen.
Die Amplitudenkurve ist 20·log₁₀|H(jω)|, sodass sich Verstärkungen als einfache Additionen von dB multiplizieren. Die Phasenkurve ist der Winkel von H(jω), und dieses Tool entfaltet sie stetig, sodass Sie die angesammelte Phasennacheilung über −180° hinaus verfolgen können, statt einen Sprung zu sehen.
Bode-Diagramme sind wichtig, weil sie Stabilität sichtbar machen: Wie nah die Kreisverstärkung an 0 dB liegt, wenn die Phase −180° erreicht, entscheidet darüber, ob ein Regelkreis nachschwingt, oszilliert oder sauber einschwingt.
Zentrale Begriffe
Amplitudenreserve
Die Amplitudenreserve gibt an, wie viel zusätzliche Verstärkung in dB der offene Kreis vertragen kann, bevor ein System mit Einheitsrückführung instabil wird. Sie wird an der Phasendurchtrittsfrequenz abgelesen, wo die Phase −180° erreicht: Die Reserve ist der Abstand von der Amplitudenkurve hinauf zu 0 dB. Übliche Auslegungsrichtlinien fordern 6 dB oder mehr.
Phasenreserve
Die Phasenreserve gibt an, wie viel zusätzliche Phasennacheilung der offene Kreis aufnehmen kann, bevor Instabilität eintritt. Sie wird an der Amplitudendurchtrittsfrequenz abgelesen, wo die Amplitude 0 dB schneidet: Die Reserve ist der Abstand von der Phasenkurve hinauf zu −180°. Übliche Auslegungsrichtlinien fordern 45° oder mehr; beide Reserven gelten, wenn der offene Kreis selbst stabil ist.
Eckfrequenz
Eine Eck- (oder Knick-)Frequenz ist die Stelle, an der die asymptotische Amplitude ihre Steigung ändert — bei ω = |p| für einen Pol p oder ω = |z| für eine Nullstelle z. An einer Ecke erster Ordnung liegt die wahre Kurve 3 dB von den Asymptoten entfernt und die Phase hat sich um 45° verschoben, weshalb der −3-dB-Punkt die Bandbreite definiert.
Pole, Nullstellen und Steigungen
Jeder Pol knickt die Amplitudensteigung um −20 dB/Dekade ab und trägt −90° Phase bei; jede Nullstelle fügt +20 dB/Dekade und +90° hinzu. Konjugiert-komplexe Polpaare mit geringer Dämpfung erzeugen eine Resonanzüberhöhung nahe ihrer Eigenfrequenz. Pole und Nullstellen gegen die geplotteten Steigungen abzuzählen ist der schnellste Plausibilitätscheck eines Modells.
So verwenden Sie diesen Generator
- Geben Sie die Zähler- und Nennerkoeffizienten von H(s) in absteigenden Potenzen von s ein — zum Beispiel 1, 0, 4 für s² + 4. Kommas und Leerzeichen funktionieren beide.
- Legen Sie den Frequenzbereich fest und wählen Sie rad/s oder Hz. Der Durchlauf ist logarithmisch zwischen den beiden Grenzen.
- Wählen Sie „Diagramme erzeugen“. Die Amplituden- und Phasenkurven erscheinen sofort, und die Kenngrößentabelle meldet Amplitudenreserve, Phasenreserve, Durchtrittsfrequenzen, Pole, Nullstellen und die Stabilität des offenen Kreises.
- Untersuchen Sie einen beliebigen Punkt mit dem Zeiger oder den Pfeiltasten und exportieren Sie dann die abgetastete Antwort als CSV oder die Diagramme als SVG. Alles wird lokal berechnet — nichts, was Sie eingeben, verlässt die Seite.
Häufige Übertragungsfunktionen
Wählen Sie „Laden“, um ein Beispiel sofort zu plotten.
| System | H(s) | Verhalten | Laden |
|---|---|---|---|
| Tiefpass 1. Ordnung | 1 / (s + 1) | Flach bis zur Eckfrequenz, dann −20 dB/Dekade; die Phase pendelt sich bei −90° ein. | |
| Hochpass 1. Ordnung | s / (s + 1) | +20 dB/Dekade unterhalb der Eckfrequenz, darüber flach; die Phase beginnt bei +90°. | |
| Tiefpass 2. Ordnung | 100 / (s² + 10s + 100) | −40 dB/Dekade oberhalb von ωₙ; Überhöhung nahe ωₙ bei Dämpfung ζ < 0,707. | |
| Bandpass | 10s / (s² + 10s + 100) | Lässt ein Band um ωₙ passieren; Flanken mit ±20 dB/Dekade auf beiden Seiten. | |
| Integrierer | 1 / s | Konstant −20 dB/Dekade über alle Frequenzen; Phase fest bei −90°. | |
| Differenzierer mit Pol | s / (0.1s + 1) | +20 dB/Dekade, bis der Pol übernimmt; die Phase fällt von +90° ab. | |
| PID-Regler | (s² + 10s + 20) / s | Integrales Verhalten bei niedrigen Frequenzen, differenzierende Anhebung bei hohen Frequenzen. | |
| Regelkreis mit Einheitsrückführung | 1 / (s(s + 1)) | Klassisches Reserven-Beispiel: Integrierer plus Pol, endliche Phasenreserve. |
Genauigkeit und Methode
Die Kurven werden berechnet, indem die Polynome an bis zu 5.000 abgetasteten Frequenzen ausgewertet werden; intern wird ω in rad/s verwendet, und Hz-Eingaben werden mit ω = 2πf umgerechnet. Die Phase wird überall dort stetig entfaltet, wo die Antwort definiert ist, und Durchtritte werden zwischen den Abtastpunkten interpoliert, sodass die Reserven Schätzwerte innerhalb des eingegebenen Bereichs sind.
Die Reserven werden für eine Übertragungsfunktion des offenen Kreises unter Einheitsrückführung interpretiert. Hat der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene, weist die Tabelle darauf hin, und den Bode-Reserven sollte für die Stabilität des geschlossenen Kreises nicht vertraut werden — verwenden Sie stattdessen das Nyquist-Kriterium.
Häufig gestellte Fragen
Was berechnet dieser Bode-Diagramm-Generator?
Er wertet H(jω) direkt aus Ihren Polynomkoeffizienten an logarithmisch verteilten Frequenzen aus und meldet dann die Amplitude in dB, die stetig entfaltete Phase in Grad, Amplitudenreserve, Phasenreserve, Durchtrittsfrequenzen, statische Verstärkung sowie die numerisch faktorisierten Pole und Nullstellen. Die gesamte Berechnung findet in Ihrem Browser statt.
Wie liest man ein Bode-Diagramm?
Die horizontale Achse ist die Frequenz auf einer logarithmischen Skala. Im Amplitudengang bedeuten positive dB Verstärkung und negative dB Dämpfung, und gerade Abschnitte liegen auf Vielfachen von ±20 dB/Dekade. Beobachten Sie im Phasengang, wie viel Nacheilung sich mit steigender Frequenz ansammelt — der Abstand zu −180°, wenn die Amplitude bei 0 dB liegt, ist die Phasenreserve.
Was sind Amplitudenreserve und Phasenreserve?
Sie sind die beiden Standard-Sicherheitsreserven eines Regelkreises. Die Amplitudenreserve wird dort gemessen, wo die Phase −180° schneidet, und gibt an, wie viele dB zusätzliche Verstärkung der Kreis toleriert. Die Phasenreserve wird dort gemessen, wo die Amplitude 0 dB schneidet, und gibt an, wie viele Grad zusätzliche Nacheilung er toleriert. Beide sollten für einen stabilen Kreis mit Einheitsrückführung positiv sein, und sie sind aussagekräftig, wenn der offene Kreis selbst stabil ist.
Was ist der Unterschied zwischen einem Bode-Diagramm und einem Nyquist-Diagramm?
Ein Bode-Diagramm zeigt Amplitude und Phase als zwei getrennte Kurven über der Frequenz; ein Nyquist-Diagramm zeichnet H(jω) als eine Kurve in der komplexen Ebene. Aus Bode-Diagrammen lassen sich Reserven leichter ablesen; das Nyquist-Kriterium ist der allgemeinere Stabilitätstest und das richtige Werkzeug, wenn der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene hat.
Wie formen Pole und Nullstellen das Diagramm?
Jeder Pol fügt −20 dB/Dekade Steigung und −90° letztliche Phasennacheilung hinzu, beginnend nahe seiner Eckfrequenz; jede Nullstelle bewirkt das Gegenteil. Schwach gedämpfte komplexe Polpaare erzeugen eine Resonanzüberhöhung. Dieses Tool faktorisiert Ihre Polynome numerisch und listet die Pole und Nullstellen auf, sodass Sie jeden Knick der Kurve einer Wurzel zuordnen können.
Ist dieses Tool kostenlos, und wohin gehen meine Daten?
Es ist völlig kostenlos, ohne Anmeldung und ohne Nutzungslimits. Die Mathematik läuft lokal in Ihrem Browser — Koeffizienten werden niemals hochgeladen, und die Seite stellt nach dem Laden keine Netzwerkanfragen. CSV- und SVG-Exporte werden auf Ihrem Rechner erzeugt.