Générateur de diagramme de Bode
Saisissez les coefficients d'une fonction de transfert H(s) et lisez le gain, la phase déroulée, la marge de gain, la marge de phase, les pôles et les zéros — tracés instantanément et exportés en CSV ou SVG.
Outil en ligne gratuit · s'exécute entièrement dans votre navigateur · sans inscription
Fonction de transfert
Coefficients et plage de fréquences
Diagrammes de Bode
Gain et phase en fonction de la fréquence logarithmique
Pointez un diagramme pour inspecter un échantillon. Avec le focus clavier, utilisez Gauche/Droite ou Début/Fin.
Caractéristiques
Calculées sur la plage échantillonnée
| Paramètre | Symbole | Valeur | À la fréquence |
|---|---|---|---|
| Marge de gain | GM | — | — |
| Marge de phase | φm | — | — |
| Croisement de gain (0 dB) | ωgc | — | |
| Croisement de phase (−180°) | ωpc | — | |
| Gain statique | |H(0)| | — | |
| Zéros | zi | — | |
| Pôles | pi | — | |
| Stabilité en boucle ouverte | — | — | |
Qu'est-ce qu'un diagramme de Bode ?
Un diagramme de Bode est une paire de courbes qui montre comment un système linéaire et invariant dans le temps (LTI) répond à chaque fréquence : une courbe de gain en décibels et une courbe de phase en degrés, toutes deux tracées en fonction de la fréquence sur un axe logarithmique. Nommé d'après Hendrik Bode, qui a développé la technique aux Bell Labs dans les années 1930, il reste la manière standard dont les ingénieurs lisent la réponse en fréquence d'une fonction de transfert.
La courbe de gain est 20·log₁₀|H(jω)|, de sorte que les gains se multiplient comme de simples additions de dB. La courbe de phase est l'argument de H(jω), et cet outil la déroule de façon continue pour que vous puissiez suivre le retard de phase accumulé au-delà de −180° au lieu de le voir sauter.
Les diagrammes de Bode comptent parce qu'ils transforment la stabilité en quelque chose de visible : la proximité du gain de boucle avec 0 dB lorsque la phase atteint −180° décide si un système asservi présente des oscillations amorties, oscille ou s'établit proprement.
Notions clés
Marge de gain
La marge de gain est le supplément de gain, en dB, que la boucle ouverte peut supporter avant qu'un système à retour unitaire ne devienne instable. Elle se lit à la fréquence de croisement de phase, où la phase atteint −180° : la marge est la distance entre la courbe de gain et 0 dB. Les recommandations de conception courantes demandent 6 dB ou plus.
Marge de phase
La marge de phase est le retard de phase supplémentaire que la boucle ouverte peut absorber avant l'instabilité. Elle se lit à la fréquence de croisement de gain, où le gain traverse 0 dB : la marge est la distance entre la courbe de phase et −180°. Les recommandations de conception courantes demandent 45° ou plus ; les deux marges s'appliquent lorsque la boucle ouverte est elle-même stable.
Fréquence de coupure
Une fréquence de coupure (ou de cassure) est l'endroit où le gain asymptotique change de pente — à ω = |p| pour un pôle p, ou à ω = |z| pour un zéro z. À une coupure du premier ordre, la courbe réelle se situe à 3 dB des asymptotes et la phase a tourné de 45°, ce qui explique pourquoi le point à −3 dB définit la bande passante.
Pôles, zéros et pentes
Chaque pôle infléchit la pente du gain de −20 dB/décade et apporte −90° de phase ; chaque zéro ajoute +20 dB/décade et +90°. Les paires de pôles complexes conjugués à faible amortissement ajoutent un pic de résonance près de leur pulsation propre. Compter les pôles et les zéros au regard des pentes tracées est la vérification de cohérence la plus rapide d'un modèle.
Comment utiliser ce générateur
- Saisissez les coefficients du numérateur et du dénominateur de H(s) par puissances décroissantes de s — par exemple, 1, 0, 4 pour s² + 4. Les virgules comme les espaces fonctionnent.
- Définissez la plage de fréquences et choisissez rad/s ou Hz. Le balayage est logarithmique entre les deux limites.
- Sélectionnez Générer les diagrammes. Les courbes de gain et de phase s'affichent immédiatement, et le tableau des caractéristiques indique la marge de gain, la marge de phase, les fréquences de croisement, les pôles, les zéros et la stabilité en boucle ouverte.
- Inspectez n'importe quel point avec le pointeur ou les touches fléchées, puis exportez la réponse échantillonnée en CSV ou les diagrammes en SVG. Tout est calculé localement — rien de ce que vous saisissez ne quitte la page.
Fonctions de transfert courantes
Sélectionnez Charger pour tracer un exemple instantanément.
| Système | H(s) | Comportement | Charger |
|---|---|---|---|
| Passe-bas du premier ordre | 1 / (s + 1) | Plat jusqu'à la coupure, puis −20 dB/décade ; la phase s'établit à −90°. | |
| Passe-haut du premier ordre | s / (s + 1) | +20 dB/décade sous la coupure, plat au-dessus ; la phase démarre à +90°. | |
| Passe-bas du second ordre | 100 / (s² + 10s + 100) | −40 dB/décade au-dessus de ωₙ ; pic près de ωₙ lorsque l'amortissement ζ < 0.707. | |
| Passe-bande | 10s / (s² + 10s + 100) | Laisse passer une bande autour de ωₙ ; flancs de ±20 dB/décade de part et d'autre. | |
| Intégrateur | 1 / s | −20 dB/décade constant à toutes les fréquences ; phase fixée à −90°. | |
| Dérivateur avec pôle | s / (0.1s + 1) | +20 dB/décade jusqu'à ce que le pôle prenne le dessus ; la phase descend depuis +90°. | |
| Correcteur PID | (s² + 10s + 20) / s | Action intégrale à basse fréquence, amplification dérivée à haute fréquence. | |
| Boucle à retour unitaire | 1 / (s(s + 1)) | Démonstration classique des marges : intégrateur plus pôle, marge de phase finie. |
Précision et méthode
Les courbes sont calculées en évaluant les polynômes sur jusqu'à 5000 fréquences échantillonnées ; ω est utilisé en rad/s en interne et les entrées en Hz sont converties avec ω = 2πf. La phase est déroulée en continu partout où la réponse est définie, et les croisements sont interpolés entre les échantillons, de sorte que les marges sont des estimations dans la plage saisie.
Les marges sont interprétées pour une fonction de transfert en boucle ouverte sous retour unitaire. Si la boucle ouverte possède des pôles dans le demi-plan droit, le tableau l'indique et les marges de Bode ne doivent pas être utilisées pour juger la stabilité en boucle fermée — utilisez plutôt le critère de Nyquist.
Foire aux questions
Que calcule ce générateur de diagramme de Bode ?
Il évalue H(jω) directement à partir de vos coefficients polynomiaux à des fréquences espacées logarithmiquement, puis indique le gain en dB, la phase déroulée en continu en degrés, la marge de gain, la marge de phase, les fréquences de croisement, le gain statique et les pôles et zéros factorisés numériquement. Tout le calcul se fait dans votre navigateur.
Comment lire un diagramme de Bode ?
L'axe horizontal est la fréquence en échelle logarithmique. Sur la courbe de gain, des dB positifs signifient une amplification et des dB négatifs une atténuation, et les segments rectilignes tombent sur des multiples de ±20 dB/décade. Sur la courbe de phase, observez le retard qui s'accumule à mesure que la fréquence augmente — la distance à −180° lorsque le gain est à 0 dB est la marge de phase.
Que sont la marge de gain et la marge de phase ?
Ce sont les deux marges de sécurité standard d'une boucle d'asservissement. La marge de gain se mesure là où la phase traverse −180° et indique combien de dB de gain supplémentaire la boucle tolère. La marge de phase se mesure là où le gain traverse 0 dB et indique combien de degrés de retard supplémentaire elle tolère. Les deux doivent être positives pour une boucle à retour unitaire stable, et elles ont un sens lorsque la boucle ouverte est elle-même stable.
Quelle est la différence entre un diagramme de Bode et un diagramme de Nyquist ?
Un diagramme de Bode montre le gain et la phase comme deux courbes séparées en fonction de la fréquence ; un diagramme de Nyquist trace H(jω) comme une seule courbe dans le plan complexe. Les marges se lisent plus facilement sur les diagrammes de Bode ; le critère de Nyquist est le test de stabilité le plus général, et c'est le bon outil lorsque la boucle ouverte a des pôles dans le demi-plan droit.
Comment les pôles et les zéros façonnent-ils le diagramme ?
Chaque pôle ajoute −20 dB/décade de pente et −90° de retard de phase à terme, à partir de sa fréquence de coupure ; chaque zéro fait l'inverse. Les paires de pôles complexes faiblement amorties ajoutent un pic de résonance. Cet outil factorise vos polynômes numériquement et liste les pôles et les zéros pour que vous puissiez associer chaque cassure de la courbe à une racine.
Cet outil est-il gratuit, et où vont mes données ?
Il est entièrement gratuit, sans inscription et sans limite d'utilisation. Les calculs s'exécutent localement dans votre navigateur — les coefficients ne sont jamais envoyés, et la page n'effectue aucune requête réseau après son chargement. Les exports CSV et SVG sont générés sur votre machine.