보드 선도 생성기
전달 함수 H(s)의 계수를 입력하면 크기, 언랩된 위상, 이득 여유, 위상 여유, 극점, 영점을 읽을 수 있습니다 — 즉시 플롯되고 CSV 또는 SVG로 내보낼 수 있습니다.
무료 온라인 도구 · 브라우저에서 완전히 실행 · 가입 불필요
전달 함수
계수와 주파수 범위
보드 선도
로그 주파수에 대한 크기와 위상
플롯에 포인터를 올리면 샘플을 확인할 수 있습니다. 키보드 포커스 상태에서는 좌/우 방향키 또는 Home/End를 사용하세요.
특성
샘플링된 범위에서 계산됨
| 파라미터 | 기호 | 값 | 해당 주파수 |
|---|---|---|---|
| 이득 여유 | GM | — | — |
| 위상 여유 | φm | — | — |
| 이득 교차 (0 dB) | ωgc | — | |
| 위상 교차 (−180°) | ωpc | — | |
| DC 이득 | |H(0)| | — | |
| 영점 | zi | — | |
| 극점 | pi | — | |
| 개루프 안정성 | — | — | |
보드 선도란 무엇인가요?
보드 선도는 선형 시불변(LTI) 시스템이 모든 주파수에 어떻게 응답하는지를 보여주는 한 쌍의 그래프로, 데시벨 단위의 크기 선도와 도 단위의 위상 선도를 모두 로그 축의 주파수에 대해 그린 것입니다. 1930년대 벨 연구소에서 이 기법을 개발한 헨드릭 보드의 이름을 따서 명명되었으며, 지금도 엔지니어가 전달 함수의 주파수 응답을 읽는 표준적인 방법으로 남아 있습니다.
크기 곡선은 20·log₁₀|H(jω)|이므로 이득의 곱셈이 dB의 단순한 덧셈이 됩니다. 위상 곡선은 H(jω)의 편각이며, 이 도구는 위상을 연속적으로 언랩하므로 위상이 튀는 것을 보는 대신 −180°를 넘어 누적되는 위상 지연을 추적할 수 있습니다.
보드 선도가 중요한 이유는 안정성을 눈으로 볼 수 있게 만들기 때문입니다: 위상이 −180°에 도달할 때 루프 이득이 0 dB에 얼마나 가까운지가 피드백 시스템이 링잉하는지, 발진하는지, 깔끔하게 정착하는지를 결정합니다.
핵심 개념
이득 여유
이득 여유는 단위 피드백 시스템이 불안정해지기 전까지 개루프가 감당할 수 있는 추가 이득의 양(dB)입니다. 위상이 −180°에 도달하는 위상 교차 주파수에서 읽으며, 크기 곡선에서 0 dB까지의 거리가 여유입니다. 일반적인 설계 지침은 6 dB 이상을 요구합니다.
위상 여유
위상 여유는 불안정해지기 전까지 개루프가 흡수할 수 있는 추가 위상 지연의 양입니다. 크기가 0 dB를 교차하는 이득 교차 주파수에서 읽으며, 위상 곡선에서 −180°까지의 거리가 여유입니다. 일반적인 설계 지침은 45° 이상을 요구하며, 두 여유 모두 개루프 자체가 안정할 때 적용됩니다.
절점 주파수
절점(또는 꺾임) 주파수는 점근 크기 선도의 기울기가 바뀌는 주파수로, 극점 p에 대해서는 ω = |p|, 영점 z에 대해서는 ω = |z|에 위치합니다. 1차 절점에서 실제 곡선은 점근선에서 3 dB 떨어져 있고 위상은 45° 이동해 있으며, 이것이 −3 dB 지점이 대역폭을 정의하는 이유입니다.
극점, 영점, 기울기
각 극점은 크기 기울기를 −20 dB/dec만큼 꺾고 −90°의 위상을 더하며, 각 영점은 +20 dB/dec와 +90°를 더합니다. 감쇠가 작은 복소 켤레 극점 쌍은 고유 주파수 부근에 공진 피크를 더합니다. 플롯된 기울기에 대해 극점과 영점을 세어 맞추는 것은 모델을 가장 빠르게 검증하는 방법입니다.
이 생성기 사용 방법
- H(s)의 분자와 분모 계수를 s의 내림차순으로 입력하세요 — 예를 들어 s² + 4는 1, 0, 4입니다. 쉼표와 공백 모두 사용할 수 있습니다.
- 주파수 범위를 설정하고 rad/s 또는 Hz를 선택하세요. 스윕은 두 한계값 사이에서 로그 간격으로 이루어집니다.
- 플롯 생성을 선택하세요. 크기와 위상 곡선이 즉시 렌더링되고, 특성 표에 이득 여유, 위상 여유, 교차 주파수, 극점, 영점, 개루프 안정성이 표시됩니다.
- 포인터나 방향키로 임의의 점을 확인한 뒤, 샘플링된 응답을 CSV로, 플롯을 SVG로 내보내세요. 모든 계산은 로컬에서 이루어지며 입력한 내용은 페이지 밖으로 나가지 않습니다.
대표적인 전달 함수
불러오기를 선택하면 예제를 즉시 플롯할 수 있습니다.
| 시스템 | H(s) | 동작 | 불러오기 |
|---|---|---|---|
| 1차 저역통과 | 1 / (s + 1) | 절점까지 평탄하다가 이후 −20 dB/dec이며, 위상은 −90°에 정착합니다. | |
| 1차 고역통과 | s / (s + 1) | 절점 아래에서 +20 dB/dec, 위에서는 평탄하며, 위상은 +90°에서 시작합니다. | |
| 2차 저역통과 | 100 / (s² + 10s + 100) | ωₙ 위에서 −40 dB/dec이며, 감쇠비 ζ < 0.707일 때 ωₙ 부근에서 피크가 생깁니다. | |
| 대역통과 | 10s / (s² + 10s + 100) | ωₙ 주변의 대역을 통과시키며, 양쪽으로 ±20 dB/dec의 스커트가 나타납니다. | |
| 적분기 | 1 / s | 모든 주파수에서 일정한 −20 dB/dec이며, 위상은 −90°에 고정됩니다. | |
| 극점이 있는 미분기 | s / (0.1s + 1) | 극점이 지배하기 전까지 +20 dB/dec이며, 위상은 +90°에서 내려갑니다. | |
| PID 제어기 | (s² + 10s + 20) / s | 저주파에서는 적분 동작, 고주파에서는 미분 부스트가 작용합니다. | |
| 단위 피드백 루프 | 1 / (s(s + 1)) | 여유의 고전적인 데모: 적분기와 극점의 조합으로, 유한한 위상 여유를 가집니다. |
정확도와 계산 방법
곡선은 최대 5,000개의 샘플 주파수에서 다항식을 평가하여 계산되며, 내부적으로 ω는 rad/s로 사용되고 Hz 입력은 ω = 2πf로 변환됩니다. 위상은 응답이 정의되는 모든 곳에서 연속적으로 언랩되고 교차점은 샘플 사이에서 보간되므로, 여유는 입력한 범위 내에서의 추정값입니다.
여유는 단위 피드백 하의 개루프 전달 함수로 해석됩니다. 개루프가 우반평면 극점을 가지면 표에 그 사실이 표시되며, 이때 보드 여유를 폐루프 안정성 판단에 사용해서는 안 됩니다 — 대신 나이퀴스트 판별법을 사용하세요.
자주 묻는 질문
이 보드 선도 생성기는 무엇을 계산하나요?
입력한 다항식 계수로부터 로그 간격의 주파수에서 H(jω)를 직접 평가한 다음, dB 단위의 크기, 연속적으로 언랩된 도 단위의 위상, 이득 여유, 위상 여유, 교차 주파수, DC 이득, 수치적으로 인수분해된 극점과 영점을 보고합니다. 모든 계산은 브라우저에서 이루어집니다.
보드 선도는 어떻게 읽나요?
가로축은 로그 스케일의 주파수입니다. 크기 선도에서 양의 dB는 증폭을, 음의 dB는 감쇠를 의미하며, 직선 구간은 ±20 dB/dec의 배수 기울기를 가집니다. 위상 선도에서는 주파수가 올라감에 따라 지연이 얼마나 누적되는지 살펴보세요 — 크기가 0 dB일 때 −180°까지의 거리가 위상 여유입니다.
이득 여유와 위상 여유란 무엇인가요?
이들은 피드백 루프의 두 가지 표준 안전 여유입니다. 이득 여유는 위상이 −180°를 교차하는 곳에서 측정되며 루프가 몇 dB의 추가 이득을 견디는지를 말해 줍니다. 위상 여유는 크기가 0 dB를 교차하는 곳에서 측정되며 몇 도의 추가 지연을 견디는지를 말해 줍니다. 안정한 단위 피드백 루프에서는 둘 다 양수여야 하며, 개루프 자체가 안정할 때 의미가 있습니다.
보드 선도와 나이퀴스트 선도의 차이는 무엇인가요?
보드 선도는 크기와 위상을 주파수에 대한 두 개의 별도 곡선으로 보여 주고, 나이퀴스트 선도는 H(jω)를 복소 평면에서 하나의 곡선으로 그립니다. 여유를 읽기에는 보드 선도가 더 쉽고, 나이퀴스트 판별법은 더 일반적인 안정성 판정법으로서 개루프가 우반평면 극점을 가질 때 적절한 도구입니다.
극점과 영점은 플롯을 어떻게 형성하나요?
모든 극점은 절점 주파수 부근부터 −20 dB/dec의 기울기와 최종적으로 −90°의 위상 지연을 더하며, 모든 영점은 그 반대로 작용합니다. 감쇠가 작은 복소 극점 쌍은 공진 피크를 더합니다. 이 도구는 다항식을 수치적으로 인수분해하여 극점과 영점을 나열하므로 곡선의 각 꺾임을 근과 대응시킬 수 있습니다.
이 도구는 무료인가요, 그리고 제 데이터는 어디로 가나요?
완전히 무료이며 가입도 사용 제한도 없습니다. 계산은 브라우저에서 로컬로 실행되고, 계수가 업로드되는 일은 없으며, 페이지는 로드된 후 네트워크 요청을 하지 않습니다. CSV와 SVG 내보내기는 사용자의 컴퓨터에서 생성됩니다.